Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P為BC上的任意一點，過P點分別作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分別為E，F．

（1）若P為BC邊中點，則PE，PF，CD三條線段有何數量關系（寫出推理過程）？

（2）若P為線段BC上任意一點，則（1）中關系還成立嗎？

（3）若P為直線BC上任意一點，則PE，PF，CD三條線段間有何數量關系（請直接寫出）．

Answer 1

【答案】（1）CD＝PE+PF，理由詳見解析；（2）成立，理由詳見解析；（3）PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD．

【解析】

（1）如圖1，連接PA，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論；

（2）連接PA，根據三角形的面積公式即可得到結論；

（3）如圖2和圖3，連接PA，根據三角形的面積列方程即可得到結論．

（1）CD＝PE+PF．理由如下：

如圖1，連接PA．

∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．

∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．

又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．

∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF．

（2）成立，理由如下：

連接PA．

∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．

∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．

又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．

∵AB＝AC，∴CD＝PE+PF．

（3）結論：PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD．理由如下：

如圖2，連接PA．

∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．

∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．

又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB，∴AB×CDAC×PFAB×PE．

∵AB＝AC，∴CD＝PF﹣PE．

如圖3，連接PA．

∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．

∵S△ABCAB×CD，S△PABAB×PE，S△PACAC×PF．

又∵S△ABC＝S△PAB﹣S△PAC，∴AB×CDAB×PEAC×PF．

∵AB＝AC，∴CD＝PE﹣PF．