Question

    如題25圖，在同一平面上，兩塊斜邊相等的直角三角板Rt△ABC與Rt△ADC拼在一起，使斜邊AC   完全重合，且頂點B，D分別在AC的兩旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm.

(1) 填空：AD=           (cm)，DC=           (cm)；

(2) 點M，N分別從A點，C點同時以每秒1cm的速度等速出發，且分別在AD，CB上沿A→D，C      →B的方向運動，當N點運動 到B點時，M，N兩點同時停止運動，連結MN，求當M，N點      運動了x秒時，點N到AD的距離(用含x的式子表示)；

(3) 在(2)的條件下，取DC中點P，連結MP，NP，設△PMN的面積為y(cm²)，在整個運動過程中，       △PMN的面積y存在最大值，請求出這個最大值.

(參考數據：sin75°=，sin15°=)

Answer 1

【解析】(1) ；；

(2) 如圖，過點N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延長線于F，則NE=DF.

∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，

∴∠NCF=75°，∠FNC=15°，

∴sin15°=，又NC=x，

∴，

∴NE=DF=.

∴點N到AD的距離為cm；

(3) ∵sin75°=，∴，

∵PD=CP=，

∴PF=，

∴·

即，

當=時，y有最大值為.