Question

（2012•天津）已知⊙O中，AC為直徑，MA、MB分別切⊙O于點A、B．

（Ⅰ）如圖①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如圖②，過點B作BD⊥AC于E，交⊙O于點D，若BD=MA，求∠AMB的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AM與圓O相切，根據切線的性質得到AM垂直于AC，可得出∠MAC為直角，再由∠BAC的度數，用∠MAC-∠BAC求出∠MAB的度數，又MA，MB為圓O的切線，根據切線長定理得到MA=MB，利用等邊對等角可得出∠MAB=∠MBA，由底角的度數，利用三角形的內角和定理即可求出∠AMB的度數；
（Ⅱ）連接AB，AD，由直徑AC垂直于弦BD，根據垂徑定理得到A為優弧

BAD

的中點，根據等弧對等弦可得出AB=AD，由AM為圓O的切線，得到AM垂直于AC，又BD垂直于AC，根據垂直于同一條直線的兩直線平行可得出BD平行于AM，又BD=AM，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ADBM為平行四邊形，再由鄰邊MA=MB，得到ADBM為菱形，根據菱形的鄰邊相等可得出BD=AD，進而得到AB=AD=BD，即△ABD為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠D為60°，再利用菱形的對角相等可得出∠AMB=∠D=60°．

解答：解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于點A，
∴∠MAC=90°，又∠BAC=25°，
∴∠MAB=∠MAC-∠BAC=65°，
∵MA、MB分別切⊙O于點A、B，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠MBA，
∴∠M=180°-（∠MAB+∠MBA）=50°；

（Ⅱ）如圖，連接AD、AB，
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，
∴BD∥MA，又BD=MA，
∴四邊形MADB是平行四邊形，又MA=MB，
∴四邊形MADB是菱形，
∴AD=BD．
又∵AC為直徑，AC⊥BD，
∴

AB

=

AD

，
∴AB=AD，又AD=BD，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠D=60°，
∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°．

點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理，弦、弧及圓心角之間的關系，菱形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，切線長定理，以及等邊三角形的判定與性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．