Question

（2012•天津）已知拋物線y=ax²+bx+c（0＜2a＜b）的頂點為P（x₀，y₀），點A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（-1，y_C）在該拋物線上．
（Ⅰ）當a=1，b=4，c=10時，
①求頂點P的坐標；
②求

yA

yB-yC

的值；
（Ⅱ）當y₀≥0恒成立時，求

yA

yB-yC

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函數解析式；
①將二次函數化為頂點式，即可得到拋物線頂點坐標；
②將A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（-1，y_C）分別代入解析式，即可求出y_A、y_B、y_C的值，然后計算

yA

yB-yC

的值即可；
（Ⅱ）根據0＜2a＜b，求出x₀=-

b

2a

＜-1，作出圖中輔助線：點A作AA₁⊥x軸于點A₁，則AA₁=y_A，OA₁=1．連接BC，過點C作CD⊥y軸于點D，則BD=y_B-y_C，CD=1．過點A作AF∥BC，交拋物線于點E（x₁，y_E），交x軸于點F（x₂，0），證出Rt△AFA₁∽Rt△BCD，得到

yA

yB-yC

=

1-x2

1

=1-x₂，再根據△AEG∽△BCD得到

yA-yE

yB-yC

=1-x₁，然后求出y_A、y_B、y_C、y_E的表達式，然后y₀≥0恒成立，得到x₂≤x₁＜-1，從而利用不等式求出

yA

yB-yC

的最小值．

解答：解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，
此時拋物線的解析式為y=x²+4x+10．
①∵y=x²+4x+10=（x+2）²+6，
∴拋物線的頂點坐標為P（-2，6）．
②∵點A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（-1，y_C）在拋物線y=x²+4x+10上，
∴y_A=15，y_B=10，y_C=7．
∴

yA

yB-yC

=

15

10-7

=5．

（Ⅱ）由0＜2a＜b，得x₀=-

b

2a

＜-1．
由題意，如圖過點A作AA₁⊥x軸于點A₁，則AA₁=y_A，OA₁=1．
連接BC，過點C作CD⊥y軸于點D，則BD=y_B-y_C，CD=1．
過點A作AF∥BC，交拋物線于點E（x₁，y_E），交x軸于點F（x₂，0），
則∠FAA₁=∠CBD．
于是Rt△AFA₁∽Rt△BCD．
有

AA1

BD

=

FA1

CD

，即

yA

yB-yC

=

1-x2

1

=1-x₂．
過點E作EG⊥AA₁于點G，
易得△AEG∽△BCD．
有

AG

BD

=

EG

CD

，即

yA-yE

yB-yC

=1-x₁．
∵點A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（-1，y_C）、E（x₁，y_E）在拋物線y=ax²+bx+c上，
得y_A=a+b+c，y_B=c，y_C=a-b+c，y_E=ax12+bx1+c，
∴

(a+b+c)-(ax12+bx1+c)

c-(a-b+c)

=1-x₁．
化簡，得x12+x1-2=0，
解得x₁=-2（x₁=1舍去）．
∵y₀≥0恒成立，根據題意，有x₂≤x₁＜-1，
則1-x₂≥1-x₁，即1-x₂≥3．
∴

yA

yB-yC

的最小值為3．

點評：本題考查了配方法求二次函數頂點坐標，函數圖象上點的坐標特征，以及相似三角形的性質，利用不等式求最值，綜合性很強，旨在考查同學們的綜合邏輯思維能力，要認真對待．