Question

【題目】在平面直角坐標系中，為原點，點，點．以為一邊作等邊三角形，點在第二象限．

(Ⅰ)如圖①，求點的坐標；

(Ⅱ)將繞點順時針旋轉得，點旋轉后的對應點為．

①如圖②，當旋轉角為30°時，與分別交于點與交于點，求與公共部分面積的值；

②若為線段的中點，求長的取值范圍(直接寫出結果即可)．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)點的坐標為；(Ⅱ)①；②．

【解析】

(Ⅰ)利用的坐標，求解 利用等邊三角形的性質可得答案；

(Ⅱ) ①過點作于點，分別求解,的面積，利用，可得答案；②如圖，在以為圓心，為半徑的圓上運動，延長至，使 則設，得到：所以：表示點與之間的距離，連接交圓于,當在的下方，最短，反之最長，從而可得答案．

解：(Ⅰ)，

．

在中，，

．

．

是等邊三角形，

．

，

∴點的坐標為．

(Ⅱ)①過點作于點，

∵將順時針旋轉30°，得，

．

．

．

，

．

在中，，

．

．

，

．

在中，，

．

在中，，

．

．

．

②如圖，在以為圓心，為半徑的圓上運動，

延長至，使 則

設，則由勾股定理得：

為的中點，

所以：表示點與之間的距離，連接交圓于,

當在的下方，最短，反之最長，

設為

解得：

為：

解得： 或

當在的下方時，坐標為：

同理：當在的上方時，