Question

【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0）兩點，過點A的直線交拋物線于點C（2，m），交y軸于點D．

（1）求拋物線及直線AC的解析式；

（2）點P是線段AC上的一動點（點P與點A、C不重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點E，求線段PE長度的最大值；

（3）點M（m，-3）是拋物線上一點，問在直線AC上是否存在點F，使△CMF是等腰直角三角形？如果存在，請求出點F的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3．y=-x-1．（2）．（3）點F為（1，-2）.

【解析】

試題分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線中，易求出拋物線的解析式；將C點橫坐標代入拋物線的解析式中，即可求出C點的坐標，再由待定系數法可求出直線AC的解析式．

（2）PE的長實際是直線AC與拋物線的函數值的差，可設P點的橫坐標為x，用x分別表示出P、E的縱坐標，即可得到關于PE的長、x的函數關系式，根據所得函數的性質即可求得PE的最大值．

（3）根據點F的不同位置分類討論．

試題解析：（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，

得b=-2，c=-3；

∴y=x2-2x-3．

將C點的橫坐標x=2代入y=x2-2x-3，

得y=-3，∴C（2，-3）；

∴直線AC的函數解析式是y=-x-1．

（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），

則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3）；

∵P點在E點的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2，

=-（x-）2+

∴當x=1/2時，PE的最大值=．

（3）①當點F在D點時，

將直線和拋物線的解析式組成方程組：

，

解得：，，

∴點C的坐標為（2，-3），

令x=0，y=x2-2x-3=-3，

∴M的坐標為（0，-3）

由直線的解析式可求點D的坐標為（0．-1）

∴MC=2，MD=3-1=2，

∵MC∥y軸，

∴∠CMD=90°，

即△CMD是等腰直角三角形，

∴當點F的坐標為（-1，0）時，△CMD是等腰直角三角形．

②當F在P點時，

當點E是頂點坐標時，可得PM=PC，

由拋物線的解析式可得對稱軸為x=-1，

解方程組：，解得．

∴點P的坐標為（1，-2）

∴PC=MP=，

又∵MC=2，

∴PC2+PM2=MC2，

由勾股定理的逆定理可得：△PMC為等腰直角三角形．

即△FMC為等腰直角三角形．

∴F點的坐標為（1，-2）．

③當F不在P、D點時，設點F（x，-x-1），

則CM=CF==2

即（x-2）2+（-x-3+3）2=4

解得：x1=2+，x2=2-，

∴F（2+，-3-）或F（2-，-3+ ）．

當F（2+，-3-）時，FM=，

∴CM2+CF2≠MF2，不能構成直角三角形，

同理：當F（2-，-3+ ）時，也不能構成直角三角形．

綜上所述，存在點F為（1，-2）時．使△CMF是等腰直角三角形