Question

如圖，已知直線y＝－2x＋4與x軸、y軸分別相交于A、C兩點，拋物線

y=-2x+bx+c (a≠0)經過點A、C.

1.求拋物線的解析式;

2.設拋物線的頂點為P，在拋物線上存在點Q，使△ABQ的面積等于△APC面積的4倍.求出點Q的坐標;

3.點M是直線y=-2x+4上的動點，過點M作ME垂直x軸于點E，在y軸（原點除外）上是否存在點F，使△MEF為等腰直角三角形? 若存在,求出點F的坐標及對應的點M的坐標；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

 

1.在中,當時,

當時,

∴A(2,0) ，    C(0,4)   代入

則                      1分

有                              2分

∴拋物線解析式為       3分

2.當時,       ∴

過P作PD⊥軸于D

,   OC=4,OD=

∴CD=,   DP=∴

 

∴               4分

設△ABQ中AB邊上的高為,  

當時,

   ,   

∴     ∴

由題意

∴

                                       5分

設或

當

    

       

當, ,

∴Q₁(0,4) , Q₂(1,4), ,   7分

3.若存在點F使△MEF為等腰直角三角形,設

∵F不在原點, ∴點E不為直角頂點

①當M為直角頂點時,有

若同號(同正,即M在一象限)

則,即

     ∴,此時

若異號(M在二或四象限),   則,  即,  

∴M₂(4,-4)   此時                      9分

   ②當F為直角頂點時,有

若同號(M在一象限)   則

即,  ,   , ∴,  此時F₃(0,1)

若異號(M在二象限或四象限)

則,     即,   此方程無解.

∴存在△MEF為等腰直角三角形,其坐標為

 ;   ;  

【解析】略