Question

如圖，已知直線y＝－2x＋4與x軸、y軸分別相交于A、C兩點(diǎn)，拋物線

y=-2x+bx+c (a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C.

1.求拋物線的解析式;

2.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，在拋物線上存在點(diǎn)Q，使△ABQ的面積等于△APC面積的4倍.求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);

3.點(diǎn)M是直線y=-2x+4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作ME垂直x軸于點(diǎn)E，在y軸（原點(diǎn)除外）上是否存在點(diǎn)F，使△MEF為等腰直角三角形? 若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

 

Answer 1

 

1.在中,當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

∴A(2,0) ，   C(0,4)   代入

則                     1分

有                             2分

∴拋物線解析式為       3分

2.當(dāng)時(shí),       ∴

過(guò)P作PD⊥軸于D

,   OC=4,OD=

∴CD=,  DP=∴

 

∴              4分

設(shè)△ABQ中AB邊上的高為,  

當(dāng)時(shí),

   ,   

∴     ∴

由題意

∴

                                       5分

設(shè)或

當(dāng)

    

       

當(dāng), ,

∴Q₁(0,4) , Q₂(1,4),,   7分

3.若存在點(diǎn)F使△MEF為等腰直角三角形,設(shè)

∵F不在原點(diǎn), ∴點(diǎn)E不為直角頂點(diǎn)

①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí),有

若同號(hào)(同正,即M在一象限)

則,即

     ∴,此時(shí)

若異號(hào)(M在二或四象限),   則,  即,  

∴M₂(4,-4)   此時(shí)                     9分

  ②當(dāng)F為直角頂點(diǎn)時(shí),有

若同號(hào)(M在一象限)   則

即,  ,   ,∴,  此時(shí)F₃(0,1)

若異號(hào)(M在二象限或四象限)

則,     即,   此方程無(wú)解.

∴存在△MEF為等腰直角三角形,其坐標(biāo)為

 ;   ;  

解析:略