Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O與點(diǎn)M（-4，0），頂點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4，以線段OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C為一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造矩形ABCD，使邊CD在線段OM上，點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)，點(diǎn)A、B在拋物線上
（1）連接MN、ON，求△MON的面積；
（2）求拋物線的解析式；
（3）探究：當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)C時(shí)，矩形ABCD的形狀會(huì)發(fā)生變化
①當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
②設(shè)矩形ABCD的周長為l，請問l是否存在一個(gè)最大值？如果存在，求出這個(gè)最大值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過坐標(biāo)得到線段的長再求面積．
（2）利用頂點(diǎn)式求拋物線的解析式．
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)來表示矩形ABCD的邊長，再通過幾何性質(zhì)建立等量關(guān)系．求最大值問題通過配成頂點(diǎn)式解決．

解答：解：（1）∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，0）
∴OM=4
作NE⊥y軸于點(diǎn)E，又頂點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4
∴NE=4
∴S_△MON=

1

2

MO•NE=

1

2

×4×4=8（平方單位）（3分）

（2）拋物線的頂點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4，
且又經(jīng)過原點(diǎn)O與點(diǎn)M（-4，0），
所以頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，4）
所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）²+4（4分）
∵拋物線y=a（x+2）²+4過原點(diǎn)（0，0），
∴0=a（0+2）²+4
∴a=-1（5分）
拋物線的解析式為y=-（x+2）²+4即y=-x²-4x（6分）

（3）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0），
因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線y=-x²-4x上，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，-x²-4x）（7分）
D的坐標(biāo)為（x，0），
所以O(shè)D=|X|=-X，MD=OC=4+x
∴CD=OM-MD-OC=-4-2x
∴AD=-x²-4x
當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)有CD=AD
所以有-4-2x=x²-4x即x²+2x-4=0（8分）
解得x₁=-1-

5

，x₂=-1+

5

-1+

5

＞0時(shí)，點(diǎn)D不在OM上，不符合舍去．（9分）
所以x=-1-

5

，
所以-x²-4x=-2+2

5

當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1-

5

，-2+2

5

）（10分）
②存在
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0）則由①知：
CD=-4-2x，AD=-X²-4X
則l=2（-4-2x）+2（-x²-4x）=-2x²-12x-8=-2（x+3）²+10（12分）
所以當(dāng)x=-3時(shí)l存在最大值，最大值為10（13分）

點(diǎn)評：求拋物線的解析式用待定系數(shù)法，此題設(shè)頂點(diǎn)式．對于動(dòng)點(diǎn)問題一般設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)來表示其它點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長，通過應(yīng)用方程的思想求未知數(shù)．求最大值問題利用拋物線的頂點(diǎn)式完成．