Question

【題目】三角形角平分線交點或三角形內切圓的圓心都稱為三角形的內心．按此說法，四邊形的四個角平分線交于一點，我們也稱為“四邊形的內心”．

（1）試舉出一個有內心的四邊形．

（2）探究：對于任意四邊形ABCD，如果有內心，則四邊形的邊長具備何種條件？為什么？

（3）探究：腰長為的等腰直角三角形ABC，∠C=90°，O是△ABC的內心，若沿圖中虛線剪開，O仍然是四邊形ABDE的內心，此時裁剪線有多少條？

（4）問題（3）中，O是四邊形ABDE內心，且四邊形ABDE是等腰梯形，求DE的長？

Answer 1

【答案】（1）正方形，菱形（寫出一個即可） ；（2）對邊之和相等；（3）有無數條 ；（4）．

【解析】試題分析：（1）對角線平分每一對角的四邊形都可以，如菱形、正方形；
（2）對于任意四邊形ABCD，如果有內心，則四邊形的邊長具備條件是對邊和相等；
（3）根據O到AB的距離等于O到DE的距離，即可得到答案；
（4）由勾股定理求出AB=2，過D作DF⊥AB于F，過E作EQ⊥AB于Q，得到平行四邊形DEQF，推出DE=FQ，DF=EQ，根據等腰直角三角形得出AF=DF=BQ=QE，設DC=x，由勾股定理求出DE、AF、BQ的長，即AF+FQ+BQ=2，代入即可求出答案．

試題解析：（1）答：一個有內心的四邊形是菱形．

（2）答：對于任意四邊形ABCD，如果有內心，則四邊形的邊長具備條件是對邊和相等．

（3）解：有無數條，
理由是根據角平分線的性質得到：O到AB的距離等于O到DE的距離，在△ABC內有無數條，如圖：具備DE∥AB即可．

（4）解：等腰直角三角形ACB，AC=BC=2，由勾股定理得：AB=2，
過D作DF⊥AB于F，過E作EQ⊥AB于Q，