Question

【題目】如圖拋物線y=ax2+bx，過點A（4，0）和點B（6，2），四邊形OCBA是平行四邊形，點M（t，0）為x軸正半軸上的點，點N為射線AB上的點，且AN=OM，點D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點D的坐標；

（2）當△AMN的周長最小時，求t的值；

（3）如圖②，過點M作ME⊥x軸，交拋物線y=ax2+bx于點E，連接EM，AE，當△AME與△DOC相似時．請直接寫出所有符合條件的點M坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x，點D的坐標為（2，﹣）；（2）t=2；（3）M點的坐標為（2，0）或（6，0）．

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線解析式；利用配方法把一般式化為頂點式得到點D的坐標；

（2）連接AC，如圖①，先計算出AB=4，則判斷平行四邊形OCBA為菱形，再證明△AOC和△ACB都是等邊三角形，接著證明△OCM≌△ACN得到CM=CN，∠OCM=∠ACN，則判斷△CMN為等邊三角形得到MN=CM，于是△AMN的周長=OA+CM，由于CM⊥OA時，CM的值最小，△AMN的周長最小，從而得到t的值；

（3）先利用勾股定理的逆定理證明△OCD為直角三角形，∠COD=90°，設M（t，0），則E（t，t2-t），根據相似三角形的判定方法，當時，△AME∽△COD，即|t-4|：4=|t2-t |：，當時，△AME∽△DOC，即|t-4|：=|t2-t |：4，然后分別解絕對值方程可得到對應的M點的坐標．

（1）把A（4，0）和B（6，2）代入y=ax2+bx得

，解得，

∴拋物線解析式為y=x2-x；

∵y=x2-x =-2) 2-；

∴點D的坐標為（2，-）；

（2）連接AC，如圖①，

AB==4，

而OA=4，

∴平行四邊形OCBA為菱形，

∴OC=BC=4，

∴C（2，2），

∴AC==4，

∴OC=OA=AC=AB=BC，

∴△AOC和△ACB都是等邊三角形，

∴∠AOC=∠COB=∠OCA=60°，

而OC=AC，OM=AN，

∴△OCM≌△ACN，

∴CM=CN，∠OCM=∠ACN，

∵∠OCM+∠ACM=60°，

∴∠ACN+∠ACM=60°，

∴△CMN為等邊三角形，

∴MN=CM，

∴△AMN的周長=AM+AN+MN=OM+AM+MN=OA+CM=4+CM，

當CM⊥OA時，CM的值最小，△AMN的周長最小，此時OM=2，

∴t=2；

（3）∵C（2，2），D（2，-），

∴CD=，

∵OD=，OC=4，

∴OD2+OC2=CD2，

∴△OCD為直角三角形，∠COD=90°，

設M（t，0），則E（t，t2-t），

∵∠AME=∠COD，

∴當時，△AME∽△COD，即|t-4|：4=|t2-t |：，

整理得|t2-t|=|t-4|，

解方程t2-t =（t-4）得t1=4（舍去），t2=2，此時M點坐標為（2，0）；

解方程t2-t =-（t-4）得t1=4（舍去），t2=-2（舍去）；

當時，△AME∽△DOC，即|t-4|：=|t2-t |：4，整理得|t2-t |=|t-4|，

解方程t2-t =t-4得t1=4（舍去），t2=6，此時M點坐標為（6，0）；

解方程t2-t =-（t-4）得t1=4（舍去），t2=-6（舍去）；

綜上所述，M點的坐標為（2，0）或（6，0）．