Question

已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C（0，12）兩點，且對稱軸為直線x=4．設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．
（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；
（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N．將△PMN沿直線MN對折，得到△P₁MN．在動點M的運動過程中，設△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒．求S關于t的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用對稱軸公式，A、C兩點坐標，列方程組求a、b、c的值即可；
（2）存在．由（1）可求直線PB解析式為y=2x-12，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四邊形的情形；
（3）由P（4，-4）可知直線OP解析式為y=-x，當P₁落在x軸上時，M、N的縱坐標為-2，此時t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4兩種情形，分別表示重合部分面積．
解答：解：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c
由題意得，
解得，
∴二次函數的解析式為y=x²-8x+12，（2分）
點P的坐標為（4，-4）；（3分）

（2）存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形．理由如下：
當y=0時，x²-8x+12=0，
∴x₁=2，x₂=6，
∴點B的坐標為（6，0），
設直線BP的解析式為y=kx+m
則，
解得
∴直線BP的解析式為y=2x-12
∴直線OD∥BP（4分）
∵頂點坐標P（4，-4）∴OP=4
設D（x，2x）則BD²=（2x）²+（6-x）²
當BD=OP時，（2x）²+（6-x）²=32，
解得：x₁=，x₂=2，（6分）
當x₂=2時，OD=BP=，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去，
∴當x=時四邊形OPBD為等腰梯形，（7分）
∴當D（，）時，四邊形OPBD為等腰梯形；（8分）

（3）①當0＜t≤2時，
∵運動速度為每秒個單位長度，運動時間為t秒，則MP=t，
∴PH=t，MH=t，HN=t，
∴MN=MH+HN=t，
∴S=t•t•=t²（10分），
②當2＜t＜4時，P₁G=2t-4，P₁H=t，
∵MN∥OB∴△P₁EF∽△P₁MN，
∴，
∴，
∴=3t²-12t+12，
∴S=t²-（3t²-12t+12）=-t²+12t-12，
∴當0＜t≤2時，S=t²，
當2＜t＜4時，S=-t²+12t-12．（12分）
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．求出二次函數解析式，研究二次函數的頂點坐標及相關圖形的特點，是解題的關鍵．