Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內，點為坐標原點，的頂點在軸正半軸，頂點、分別在軸負半軸和正半軸上，，，

（1）求的長．

（2）動點從點出發以每秒個單位長度的速度沿向終點運動，點運動的時間為，以為斜邊在右邊上方作等腰直角三角形，連接、，設的面積為（），求與之間的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，過點作的垂線交軸于，連接，當四邊形的面積為，時，求的值及點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=2t（0≤t≤4）；（3）Q（0，-2）．

【解析】

（1）根據三角形面積公式求得BC的長，然后根據等腰三角形的性質求OB的長，從而利用勾股定理求解；

（2）作PM⊥BC于N，DH⊥PC于H．利用勾股定理求出PC的長（用t表示）即可解決問題；
（3）作PN⊥y軸于N，DK⊥PN于K，DH⊥PC于H，連接AH、DH．首先證明A、P、D、C四點共圓，推出∠DAC=∠DPC=45°，∠DAO=90°，由△PNQ≌△DKP，可得DP=PQ=DC，可得四邊形PQCD是正方形，根據題意列出方程即可解決問題；

解：∵

∴BC=8

又∵的頂點在軸正半軸，頂點、分別在軸負半軸和正半軸上，，

∴OB=OC=，

∴在Rt△OAB中，

（2）如圖1中，作DM⊥X軸于M，PK⊥DM于K交y軸于N，DH⊥PC于H，作PE⊥x軸于E，連接AH、DH．

由（1）可知，OA=OB=4

∴∠BAO=∠CAO=45°，即∠BAC=90°

又∵△PCD是等腰直角三角形

∴AH=DH=HP=HC，

∴A、P、D、C四點共圓，

∴∠DAC=∠DPC=45°，

∴∠DAO=90°，

∵∠DPK+∠PDM=90°，∠PDM+∠MDC=90°，

∴∠DPK=∠MDC，

∵∠PKD=∠DMC=90°，DP=DC，

∴△PDK≌△DCM，

∴PK=DM=OA=4，

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∵PE⊥BC，

∴∠PEB=90°，

∴∠PBE=∠BPE=45°，

∵PB=t，

由題意可知，四邊形PEON為矩形

∴PE=BE=t，ON=4-t，

∴CM=DK=AN=OA=ON=OA-PE=4-t，

∴AD=4-（4-t）=t，

∴S=t4=2t（0≤t≤4）．

（3）如圖2中，

由（2）可知：PE=BE=t，ON=4-t，CE=8-t，

在Rt△PCE中，PC2=t2+（8-t）2=2t2-16t+64，

∵△PDC是等腰直角三角形，DH⊥PC，

∴PH=CH=DH，

∴S△PDC==（0≤t≤4）．

易知AN=PN=DK，∠QPN=∠PDK，∠PNQ=∠PKD=90°，

∴△PNQ≌△DKP，

∴DP=PQ=DC，∵PQ∥DC，

∴四邊形PQCD是平行四邊形，

∵∠DPQ=90°，

∴四邊形PQCD是矩形，

∵PD=PQ，

∴四邊形PQCD是正方形，

由題意：2（）=，

2（）=10t

整理得t2-8t+32=0，

解得：t=2或16（舍棄），

∴t=2時，四邊形PDCQ的面積為20，

此時PC=2，PQ=2，PN=2，ON=2，NQ==4，

∴OQ=QN-ON=2，

∴Q（0，-2）．