Question

【題目】如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）證明：DE為⊙O的切線；
（2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，CD，

∵BC為⊙O直徑，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D點在⊙O上，
∴DE為⊙O的切線；
（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，
∴CD= BC=2，BD=BCcos30°=2 ，
∴AD=BD=2 ，AB=2BD=4 ，
∴S△ABC= ABCD= ×4 ×2=4 ，
∵DE⊥AC，
∴DE= AD= ×2 = ，
AE=ADcos30°=3，
∴S△ODE= ODDE= ×2× = ，
S△ADE= AEDE= × ×3= ，
∵S△BOD= S△BCD= × S△ABC= ×4 = ，
∴S△OEC=S△ABC-S△BOD-S△ODE-S△ADE=4 - - - = ．
【解析】（1）連接OD，CD，由BC為⊙O的直徑，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角為30°，可得AD=BD，即可證得OD∥AC，進而可證得垂直，得出切線；（2）根據三角函數的定義，求得BD，DE，AE的長，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面積，進而求出面積．