Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為4，A，B，C，D是⊙O上的四點，過點C，D的切線CH，DG相交于點M，點P在弦AB上，PE∥BC交AC于點E，PF∥AD于點F，當∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF的值是( )

A. 4B. 2 C. 4 D. 不確定

Answer 1

【答案】A

【解析】

易證：AD=BC=4．通過證明△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．從而求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．

解：當∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF是定值，理由如下：

連結(jié)OA、OB、OC、OD，如圖：

∵DG與 ⊙O 相切，

∴∠GDA=∠ABD，

∵∠ADG=30°，

∴∠ABD=30°，

∴∠AOD=2∠ABD=60°，

∵OA=OD，

∴△AOD為等邊三角形，

∴AD=OA=4，

同理可得：BC=4，

∵PE∥BC，PF∥AD，

∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA，

，

，

，

∴PE+PF=4，

∴當∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF=4.

故答案為：A.