Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點C的坐標為（4，0），一次函數 的圖像分別交x軸、y軸于點A、點B.

（1）若點D是直線AB在第一象限內的點，且BD＝BC，試求出點D的坐標.
（2）在⑴的條件下，若點Q是坐標軸上的一個動點，試探索在第一象限是否存在另一個點P，使得以B、D、P、Q為頂點的四邊形是菱形（BD為菱形的一邊）？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，設點D（3a，4a+3），
過點D作DE⊥y軸于E，把x=0代入y= x+3中，得，y=3，

∴OB=3，
∴BE=OE-OB=4a+3-3=4a，BC= =5，
在Rt△BED中，根據勾股定理得，（3a）2+（4a）2=52 ，
∴a=±1，
∵點D在第一象限，
∴a=1，
∴D（3，7）
（2）解：由（1）知，BD=BC=5，
①當點Q在y軸上時，
設Q（0，q），
∵使得以B，D，P，Q為頂點的四邊形是菱形（BD為菱形的一邊），且點P在第一象限內，
即：四邊形BDPQ是菱形，
∴PQ∥BD，DP∥BQ，
∴點P的橫坐標為3，
∵四邊形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵B（0，3），
∴Q（0，8）或（0，-2），
Ⅰ、當點Q（0，8）時，
∵直線BD的解析式為y= x+3，
∴直線PQ的解析式為y= x+8，
當x=3時，y=12，
∴P（3，12），
Ⅱ、點Q（0，-2）時，
∵直線BD的解析式為y= x+3，
∴直線PQ的解析式為y= x-2，
當x=3時，y=2，
∴P（3，2），
②當點Q在x軸上時，
設Q（m，0），），
∵使得以B，D，P，Q為頂點的四邊形是菱形（BD為菱形的一邊），且點P在第一象限內，
即：四邊形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵OB=3，
∴OQ=4，
∴Q（-4，0）或（4，0）
Ⅰ、當Q（-4，0）時，∵一次函數y= x+3的圖象交x軸于點A，
∴A（- ，0），
∴點Q在點A的左側，
∴點P在第二象限內，不符合題意，舍去，
Ⅱ、當點Q（4，0）時，∵四邊形BDPQ是菱形，
∴BQ∥DP，PQ∥BD，
∵直線BD的解析式為y= x+3，
∴設直線PQ的解析式為y= x+b，
∴ ×4+b=0，
∴b=- ，
∴直線PQ的解析式為y= x- ①，
∵B（0，3），Q（4，0），
∴直線BQ的解析式為y=- x+3，
∵D（3，7），
∴直線DP的解析式為y=- x+ ②，
聯立①②解得，x=7，y=4，
∴P（7，4），
即：滿足條件的點P的坐標為（3，12）、（3，2）、（7，4）．
【解析】（1）過點D作DE⊥y軸于E，先求出直線AB與y軸的交點坐標，再根據勾股定理求出BC的長，然后在Rt△BED中用勾股定理建立方程求出a的值，就可求得點D的坐標。
（2）分兩種情況討論：①當點Q在y軸上時，利用菱形的性質求出BQ=5，再求出點Q的坐標為（0，8）或（0，-2），然后利用菱形的性質求出當點Q為（0，8）和（0，-2）時的點P的坐標；②當點Q在x軸上時，先求出點Q的坐標為（-4，0）或（4，0），然后利用菱形的性質分別求出點Q的坐標為（-4，0）和（4，0）時的點P的坐標。