Question

【題目】已知，如圖1：△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F

（1）直接寫出圖1中所有的等腰三角形．指出EF與BE、CF間有怎樣的數量關系？

（2）在（1）的條件下，若AB=15，AC=10，求△AEF的周長；

（3）如圖2，若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACG的平分線CO交于點O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F，請問（1）中EF與BE、CF間的關系還是否存在，若存在，說明理由：若不存在，寫出三者新的數量關系，并說明理由；

（4）如圖3，∠ABC、∠ACB的外角平分線的延長線相交于點O，請直接寫出EF，BE，CF，MN之間的數量關系．不需證明．

Answer 1

【答案】（1）△BEO、△CFO是等腰三角形，EF= BE+CF；（2）25；（3）（1）中結論不成立，新結論為：EF=BE﹣CF，理由見解析；（4）EF=BE+MN+CF．

【解析】

（1）利用角平分線和平行線的即可得出結論；

（2）利用（1）的結論即可得出結論；

（3）同（1）的方法即可得出結論；

（4）同（1）的方法即可得出結論．

（1）∵BO是∠ABC的平分線，∴∠EBO=∠CBO．

∵EF∥BC，∴∠CBO=∠BOE，∴∠EBO=∠EOB，∴BE=OE，∴△BEO是等腰三角形．

同理：△CFO是等腰三角形，EF=OE+OF=BE+CF；

（2）由（1）知，OE=BE，OF=CF，∴AEF的周長為AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=25；

（3）（1）中結論不成立，新結論為：EF=BE﹣CF，理由：

∵BO是∠ABC的平分線，∴∠ABO=∠CBO．

∵EF∥BC，∴∠CBO=∠EOB，∴∠ABO=EOB，∴OE=BE．

同理：CF=OF，∴EF=OE﹣OF=BE﹣CF．

（4）∵BO是∠CBE的平分線，∴∠EBO=∠CBO．

∵EF∥BC，∴∠EMB=∠CBO，∴∠EBM=∠EMB，∴BE=EM，同理：FN=CF，∴EF=EM+MN+FN=BE+MN+CF．