Question

已知，如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD。以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內部作Rt△AED，∠EAD=30⁰，∠AED=90⁰。

（1）求△AED的周長；

（2）若△AED以每秒2個長度單位的速度沿DC向右平行移動，得到△A₀E₀D₀，當A₀D₀與BC重合時停止移動。設移動時間為t秒，△A₀E₀D₀與△BDC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

（3）如圖②，在（2）中，當△AED停止移動后得到△BEC，將△BEC繞點C按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，B的對應點為B₁，E的對應點為E₁，設直線B₁E₁與直線BE交于點P、與直線CB交于點Q。是否存在這樣的，使△BPQ為等腰三角形？若存在，求出的度數；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）在平行四邊形ABCD中， BC=6，∴AD= BC=6。

∵在Rt△AED中，∠EAD=30⁰，∠AED=90⁰，∴DE=3，AE=。

∴△AED的周長為。

（2）S與t之間的函數關系式為。

（3）存在。分三種情況討論：

①若BP=BQ，如圖，則

∵∠PBQ=30⁰，

∴∠BQP=∠BPQ=75⁰。

∴∠E₁QC=∠BQP=75⁰。

∴∠E₁CQ=90⁰－75⁰=15⁰。

∴。

②若PQ=BQ，如圖，則

∵∠PBQ=30⁰，

∴∠BQP=120⁰。

∴∠B₁QC=∠BQP=120⁰。

∴∠B₁CQ=180⁰－120⁰－30⁰=30⁰。

∴。

③若PQ=BP，如圖，則

∵∠CBE =30⁰，

∴∠PBQ=30⁰。

∴∠BQP=∠PBQ=30⁰。

∴∠E₁CQ=90⁰－30⁰=60⁰。

∴。

根據等腰三角形三線合一的性質，此時B、P、Q三點重合。

∴此時不存在這樣的，使△BPQ為等腰三角形。

綜上所述，存在這樣的，使△BPQ為等腰三角形，或。

【解析】（1）根據平行四邊形對邊相等可得AD= BC=6，在Rt△AED中根據含30度角直角三角形的性質可得DE=3，AE=，從而可求△AED的周長。

（2）如圖，當△AED移動到點E₀在BC邊上時，易得△CD0E0是等邊三角形，故在D0C=3，△AED移動的距離DD0=12－3=9，從而由速度為每秒2個長度單位，得△AED移動的時間為。

當A₀D₀與BC重合時，△AED移動的距離為DC=12，由速度為每秒2個長度單位，得△AED移動的時間為。

∴當時，。

當時，如圖，，

過點D0作在D₀H⊥BC于點H，過點N作NG⊥AB于點G，則

DD₀=2t，D₀C=A₀B=BN=，∴。

∴。

當時，0，滿足上式。

綜上所述，S與t之間的函數關系式為。

（3）分BP=BQ，PQ=BQ，PQ=BP三種情況討論即可。