Question

【題目】（本題滿分10分）

問題背景：已知的頂點在的邊所在直線上（不與，重合）．交所在直線于點，交所在直線于點．記的面積為，的面積為．

（1）初步嘗試：如圖①，當是等邊三角形，，，且，時，則 ；

（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點沿平移，使，再將繞點旋轉至如圖②所示位置，求的值；

（3）延伸拓展：當是等腰三角形時，設．

（I）如圖③，當點在線段上運動時，設，，求的表達式（結果用，和的三角函數表示）．

（II）如圖④，當點在的延長線上運動時，設，，直接寫出的表達式，不必寫出解答過程．

Answer 1

【答案】(1)12;(2)12；（3）（ab）2sin2α．（ab）2sin2α．

【解析】

試題分析：（1）首先證明△ADM，△BDN都是等邊三角形，可得S1=22=，S2=（4）2=4，由此即可解決問題；

（2）如圖2中，設AM=x，BN=y．首先證明△AMD∽△BDN，可得，推出，推出xy=8，由S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，可得S1S2=xy= xy=12；

（3）Ⅰ如圖3中，設AM=x，BN=y，同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，可得S1S2=（ab）2sin2α．

（Ⅱ）結論不變，證明方法類似；

試題解析：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，

∵DE∥BC，∠EDF=60°，

∴∠BND=∠EDF=60°，

∴∠BDN=∠ADM=60°，

∴△ADM，△BDN都是等邊三角形，

∴S1=22=，S2=（4）2=4，

∴S1S2=12，

（2）如圖2中，設AM=x，BN=y．

∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，

∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，

∴△AMD∽△BDN，

∴，

∴，

∴xy=8，

∵S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，

∴S1S2=xy=xy=12．

（3）Ⅰ如圖3中，設AM=x，BN=y，

同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，

∴S1S2=（ab）2sin2α．

Ⅱ如圖4中，設AM=x，BN=y，

同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，

∴S1S2=（ab）2sin2α．