Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若點是軸上的一點，且以為頂點的三角形與相似，求點的坐標；

(3)如圖2，軸瑋拋物線相交于點，點是直線下方拋物線上的動點，過點且與軸平行的直線與，分別交于點，，試探究當點運動到何處時，四邊形的面積最大，求點的坐標及最大面積；

(4)若點為拋物線的頂點，點是該拋物線上的一點，在軸，軸上分別找點，，使四邊形的周長最小，求出點，的坐標.

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣4x﹣5，(2) D的坐標為（0，1）或（0，）；(3) 當t=時，四邊形CHEF的面積最大為．(4) P（，0），Q（0，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據待定系數法直接拋物線解析式；

（2）分兩種情況，利用相似三角形的比例式即可求出點D的坐標；

（3）先求出直線BC的解析式，進而求出四邊形CHEF的面積的函數關系式，即可求出最大值；

（4）利用對稱性找出點P，Q的位置，進而求出P，Q的坐標．

試題解析：（1）∵點A（﹣1，0），B（5，0）在拋物線y=ax2+bx﹣5上，

∴，

∴，

∴拋物線的表達式為y=x2﹣4x﹣5，

（2）如圖1，令x=0，則y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∴OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴AB=6，BC=5，

要使以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似，則有或，

①當時，

CD=AB=6，

∴D（0，1），

②當時，

∴，

∴CD=，

∴D（0，），

即：D的坐標為（0，1）或（0，）；

（3）設H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x軸，

∴點E的縱坐標為﹣5，

∵E在拋物線上，

∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，

∴E（4，﹣5），

∴CE=4，

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴直線BC的解析式為y=x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣ ）2+，

∵CE∥x軸，HF∥y軸，

∴CE⊥HF，

∴S四邊形CHEF=CEHF=﹣2（t﹣）2+，

當t=時，四邊形CHEF的面積最大為．

（4）如圖2，

∵K為拋物線的頂點，

∴K（2，﹣9），

∴K關于y軸的對稱點K'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在拋物線上，

∴M（4，﹣5），

∴點M關于x軸的對稱點M'（4，5），

∴直線K'M'的解析式為y=x﹣，

∴P（，0），Q（0，﹣）．