Question

【題目】一塊三角形廢料如圖所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用這塊廢料剪出一個平行四邊形AGEF，其中，點G，E，F分別在AB，BC，AC上．設CE=x

（1）求x=2時，平行四邊形AGEF的面積．

（2）當x為何值時，平行四邊形AGEF的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】9（平方單位）

【解析】設平行四邊形AGEF的面積是S．利用平行四邊形AGEF的對邊互相平行知EF∥AG，所以同位角∠A=∠CFE=30°；然后在直角三角形ABC和直角三角形BEF中利用銳角三角函數的定義求得CF、AC的長度，從而求得平行四邊形AGEF的底邊AF=AC-CF；最后根據平行四邊形的面積公式S=底×高得出關于S與x的函數關系式S=-x2+6x；

（1）將x=2代入S與x的函數關系式S=-x2+6x，并求解即可；

（2）利用配方法求二次函數的最值．

解：設平行四邊形AGEF的面積是S．

∵四邊形AGEF是平行四邊形，

∴EF∥AG；

∵∠A=30°，∠C=90°，CE=x，BC=6，

∴∠A=∠CFE=30°，

∴CF=x，AC=6，

∴AF=6﹣x；

∴S=AFCE=（6﹣x）x=﹣x2+6x，即S=﹣x2+6x；

（1）當x=2時，S=﹣4+12=8，即S=8．

答：平行四邊形AGEF的面積為8（平方單位）

（2）由S=﹣x2+6x，得S=-x2+6x，

∴S=-（x-3）2+9，

∴當x=3時，平行四邊形AGEF的面積最大，最大面積是9（平方單位）

“點睛”本題考查了平行四邊形的性質、二次函數的最值．解答本題的關鍵是求出平行四邊形AGEF的底邊AF、底邊上的高線CE的長度．