Question

【題目】如圖，以 為原點的直角坐標系中， 點的坐標為（0， 1），直線 交軸于點． 為線段上一動點，作直線，交直線于點． 過點作直線平行于軸，交軸于點 ，交直線于點．

（1）當點在第一象限時，求證：；

（2）當點在第一象限時，設長為，四邊形的面積為，請求出與間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）當點在線段上移動時，點也隨之在直線上移動，是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使成為等腰直角三角形的點的坐標；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S=m2﹣m+1（0＜m＜）；（3）使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標為（0，1）或（，1﹣）.

【解析】

（1）由題意可得△OAB為等腰直角三角形，因為MN∥OB，易得△AMP也是等腰直角三角形，進而可得OM=PN，再根據∠OPC=90°，同角的余角相等可得∠MOP=∠NPC，則通過“角邊角”即可得證；

（2）設長為，根據題意可用m表示出AM、MP、OM等的長，再根據S=S矩OBNM﹣2S△POM即可得到S與m的函數關系式，然后根據C再第一象限，得出CN的取值范圍，進而得到m的取值范圍；

（3）分兩種情況進行討論：當C在第一象限時，要使△PCB為等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，此時P與A重合，則可得P點坐標；當C在第四象限時，PB=BC，在等腰直角三角形PBN中，用m表示出BP的長，進而得到BC的長，由（1）可得MP=NC，則可列出關于m的方程，求得m的值，進而得到P點坐標.

（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°，

∴四邊形OBNM為矩形，

∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∴∠APM=∠ABO=45°，

∴∠MAP=∠MPA=45°，

∴AM=PM，

∴OM=AO﹣AM，PN=OB﹣PM，即OM=PN，

又∵∠OPC=90°，

∴∠MPO+∠NPC=90°，

∵∠MPO+∠MOP=90°，

∴∠MOP=∠NPC，

∴（ASA）；

（2）設長為，四邊形的面積為，

∵AM=PM=APsin45°=m，

∴OM=1﹣m，

∴S=S矩OBNM﹣2S△POM=（1﹣m）﹣2×（1﹣m）·m

=m2﹣m+1（0＜m＜）；

（3）△PBC可能為等腰三角形.

①當P與A重合時，PC=BC=1，此時P（0，1）；

②當C在第四象限，且PB=CB時，有BN=PN=1﹣m，

∴BC=PN=PN=﹣m，

∴NC=BN+BC=1﹣m+﹣m，

由（1）可得：NC=PM=m，

∴1﹣m+﹣m=m，

解得m=1，

∴PM=，BN=1﹣，

∴P（，1﹣）；

由題意可知PC=PB不成立，

則使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標為（0，1）或（，1﹣）.