Question

【題目】綜合與實踐

（問題情境）

在綜合與實踐課上，同學們以“矩形的折疊”為主題展開數學活動，如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=5，點E，F分別為邊AB，AD上的點，且DF=3。

（操作發現）

(1)沿CE折疊紙片，B點恰好與F點重合，求AE的長；

(2)如圖2，延長EF交CD的延長線于點M，請判斷△CEM的形狀，并說明理由。

（深入思考）

(3)把圖2置于平面直角坐標系中，如圖3，使D點與原點O重合，C點在x軸的負半軸上，將△CEM沿CE翻折，使點M落在點M′處.連接CM′，求點M′的坐標.

Answer 1

【答案】(1) AE的長為；(2)ΔCEM是等腰三角形，理由見解析； (3)M′(-，5).

【解析】

（1）由矩形的性質得出∠A=90°，AD=BC=5，由折疊的性質得：FE=BE，設FE=BE=x，則AE=AB-BE=4-x，求出AF=AD-DF=5-3=2，在Rt△AEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）由矩形的性質得出AB∥CD，由平行線的性質得出∠BEC=∠MCE，由折疊的性質得：∠BEC=∠CEM，得出∠MCE=∠CEM，證出MC=ME即可；

（3）由平行線得出△DFM∽△AFE，得出，解得：DM=，得出ME=MC=CD+DM=，由折疊的性質得：M'E=ME=，得出AM'=M'E+AE=，即可得出答案．

(1)設AE=x.則BE=4-x

由折疊知：EF=BE=4-x

∵四邊形ABCD為矩形

∴AD=BC=5

∴AF=AD-DF=5-3=2

在Rt△AEF中，由勾股定理得

AE2+AF2=EF2

即

∴

答：AE的長為；

(2)ΔCEM是等腰三角形，理由如下：

由折疊知：∠BEC=∠MEC

∵四邊形ABCD為矩形

∴AB∥CD

∴∠BEC=∠MCE

∴∠MEC=∠MCE

∴ME=MC

∴ΔCEM是等腰三角形

(3)由折疊知：M′E=ME，M′C=MC

由(2)得：ME=MC

∴M′E=ME=MC=M′C

∴四邊形M′CME是菱形.

由題知：E(-，5)，F(0，3)

設直線EF的解析式為y=kx+b

∴

∴

令y=0得

∴M(，0)

∴0M=

∴CM=4+=

∴M′E=MC=

∴M′A=M′E+EA=+=

∴.M′(-，5).