Question

如圖，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=

8 3

3

，邊AB的垂直平分線CD分別與AB、x軸、y軸交于點C、G、D．
（1）求點G的坐標；
（2）求直線CD的解析式；
（3）在直線CD上和平面內是否分別存在點Q、P，使得以O、D、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q得坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據DC是AB垂直平分線，得出G點為OB的中點，再根據OB的值，即可求出點G的坐標；
（2）先過點C作CH⊥x軸，在Rt△ABO中，根據∠ABO的度數和OB的值求出AB的長，再在Rt△CBH中，求出OH的值，得出點D的坐標，再設直線CD的解析式，得出k，b的值，即可求出直線CD的解析式；
 （3）首先判斷出存在點Q、P，使得以O、D、P、Q為頂點的四邊形是菱形，再分四種情況進行討論，根據條件畫出圖形，分別根據Q點的不同位置求出Q的坐標即可．

解答：解：（1）∵DC是AB垂直平分線，OA垂直AB，
∴G點為OB的中點，
∵OB=

8

3

3

，
∴G（

4

3

3

，0）．

（2）過點C作CH⊥x軸于點H，
在Rt△ABO中，∠ABO=30°，OB=

8

3

3

，
∴cos30°=

AB

8 3 3

=

3

2

，
即AB=

8

3

3

×

3

2

=4，
又∵CD垂直平分AB，
∴BC=2，在Rt△CBH中，CH=

1

2

BC=1，BH=

3

，
∴OH=

8

3

3

-

3

=

5

3

3

，
∴C（

5

3

3

，-1），
∵∠DGO=60°，
∴OG=

1

2

OB=

4

3

3

，
∴OD=

4

3

3

tan60°=4，
∴D（0，4），
設直線CD的解析式為：y=kx+b，則

-1= 5 3 3 k+b 4=b

，解得：

k=- 3 b=4

∴y=-

3

x+4；
   
（3）存在點Q、P，使得以O、D、P、Q為頂點的四邊形是菱形．
①如圖，當OD=DQ=QP=OP=4時，四邊形DOPQ為菱形，

設QP交x軸于點E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30°，
∴OE=2，PE=2

3

，
∴Q（2，4-2

3

）．

②如圖，當OD=DQ=QP=OP=4時，四邊形DOPQ為菱形，
延長QP交x軸于點F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30°，
∴OF=2，PF=2

3

，
∴QF=4+2

3

∴Q（-2，4+2

3

）．


③如圖，當PD=DQ=QO=OP=

4

3

3

時，四邊形DOPQ為菱形，在Rt△DQM中，∠MDQ=30°，
∴MQ=

1

2

DQ=

2 3

3

∴Q（

2 3

3

，2）．

④如圖，當OD=OQ=QP=DP=4時，四邊形DOQP為菱形，
設PQ交x軸于點N，此時∠NOQ=∠ODQ=30°，
在Rt△ONQ中，NQ=

1

2

OQ=2，

∴ON=2

3

，
∴Q（2

3

，-2）；
綜上所述，滿足條件的點Q共有四點：（2，4-2

3

），（-2，4+2

3

），（

2 3

3

，2），（2

3

，-2）；

點評：此題考查了一次函數的綜合應用；解題的關鍵是對（3）中Q點的不同位置分別進行求解，不要漏掉．