Question

如圖，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE、PF分別交AC于點G、H．
（1）求△PEF的邊長；
（2）若△PEF的邊EF在線段BC上移動．試猜想：PH與BE有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求△PEF的邊長，需構(gòu)造直角三角形，那么就過P作PQ⊥BC于Q．利用∠PFQ的正弦值可求出PF，即△PEF的邊長；
（2）猜想：PH-BE=1．利用∠ACB的正切值可求出∠ACB的度數(shù)，再由∠PFE=60°，可得出△HFC是等腰三角形，因此就有BE+EF+CF=BE+PH+2FH=3．再把其中FH用PH表示，化簡即可．
解答：解：（1）過P作PQ⊥BC于Q．
∵矩形ABCD
∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又AD∥BC，
∴PQ=AB=，
∵△PEF是等邊三角形，
∴∠PFQ=60°．
在Rt△PQF中，PF=2，
∴△PEF的邊長為2；

（2）在Rt△ABC中，AB=，BC=3，，
∴∠1=30°．（5分）
∵△PEF是等邊三角形，
∴∠2=60°，PF=EF=2．                                 （6分）
∵∠2=∠1+∠3，
∴∠3=30°，∠1=∠3．
∴FC=FH．                                                 （7分）
∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，
∴PH-BE=1．                                                 （8分）
注：每題只給了一種解法，其他解法按本評標(biāo)相應(yīng)給分．
點評：本題利用了矩形、平行線、等邊、等腰三角形的性質(zhì)，還有正切函數(shù)等知識，運用的綜合知識很多．