Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點M沿AB方向從A向B以2cm/秒的速度移動，點N從D沿DA方向以1cm/秒的速度移動，如果M、N兩點同時出發，移動的時間為x秒（0≤x≤6）．
（1）當x為何值時，△MAN為等腰直角三角形？
（2）當x為何值時，有△MAN∽△ABC？
（3）愛動腦筋的小紅同學在完成了以上聯系后，對該問題作了深入的研究，她認為：在M、N的移動過程中（N不與D、A重合，M不與A、B重合），以A、M、C、N為頂點的四邊形面積是一個常數．她的這種想法對嗎？請說出理由．

Answer 1

分析：（1）設x秒時，△MAN為等腰直角三角形，則AM=AN，根據已知分別表示出AM，AN的長，根據得出的等量關系列方程即可求得時間．
（2）根據相似三角形的對應邊成比例列方程，即可求得時間．
（3）分別求得四邊形AMCN的面積及矩形的面積，根據其面積發現其中的規律即可．

解答：解：（1）依題意，x秒時，△MAN為等腰直角三角形
∴AM=2x（cm），AN=6-x（cm）
∴2x=6-x
∴x=2
∴x=2時，△MAN為等腰直角三角形．

（2）∵當△MAN∽△ABC時，

AM

AB

=

AN

BC

∴

2x

12

=

6-x

6

∴x=3
∴當x=3時，△MAN∽△ABC．

（3）她的說法正確；連接CN，CM，
∵S_{四邊形AMCN}=S_△ACN+S_△ACM=

1

2

•2x•6+

1

2

（6-x）•12=6x+36-6x=36（cm²）
S_矩形ABCD=12×6=72（cm²）
∴S_{四邊形AMCN}=

1

2

S_矩形ABCD，是一個常數．

點評：此題主要考查學生對等腰三角形的判定及相似的三角形的判定及性質的綜合運用能力．