Question

【題目】二次函數y=ax2+c的圖象經過點A（﹣4，3），B（﹣2，6），點A關于拋物線對稱軸的對稱點為點C，點P是拋物線對稱軸右側圖象上的一點，點G（0，﹣1）．

（1）求出點C坐標及拋物線的解析式；

（2）若以A，C，P，G為頂點的四邊形面積等于30時，求點P的坐標；

（3）若Q為線段AC上一動點，過點Q平行于y軸的直線與過點G平行于x軸的直線交于點M，將△QGM沿QG翻折得到△QGN，當點N在坐標軸上時，求Q點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+7，點C的坐標為（4，3）；（2）P點坐標為（，）或（6，﹣2）；（3）Q點坐標為（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）或（﹣，3）或（，3）．

【解析】（1）利用待定系數法求拋物線解析式，然后利用拋物線的對稱性確定C點坐標；

（2）設P（x，﹣x2+7）（x＞0），討論：當點P在AC上方時，如圖1，利用S四邊形AGCP=S△GAC+S△PAC列方程84+8（﹣x2+7﹣3）=30，當點P在AC下方時，如圖2，AC與y軸交于點E，利用S四邊形AGPC=S△GAE+S△PEG+S△PEC列方程44+x4+4（3+x2﹣7）=30，然后分別解方程可得到對應的P點坐標；

（3）當點N落在y軸上，如圖3，利用折疊性質得∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，易得Q點的坐標；當點N落在x軸上，QM與x軸交于點F，如圖4，設Q（t，3）（﹣4≤t＜0），利用折疊性質得∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，GN=GM=﹣t，由于FN=，OF=﹣t，ON=，則﹣t=，解方程得到此時Q點的坐標，當0＜t≤4，同理可得Q點的坐標．

（1）∵二次函數y=ax2+c的圖象經過點A（﹣4，3），B（﹣2，6），∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+7．

∵二次函數y=ax2+c的圖象的對稱軸為y軸，點A（﹣4，3），∴點C的坐標為（4，3）．

（2）設P（x，﹣x2+7）（x＞0），當點P在AC上方時，如圖1，S四邊形AGCP=S△GAC+S△PAC=84+8（﹣x2+7﹣3），∴84+8（﹣x2+7﹣3）=30，解得：x1=，x2=﹣（舍去），此時P點坐標為（）；

當點P在AC下方時，如圖2，AC與y軸交于點E，S四邊形AGPC=S△GAE+S△PEG+S△PEC=44+x4+4（3+x2﹣7），∴44+x4+4（3+x2﹣7）=30，解得：x1=6，x2=﹣10（舍去），此時P點坐標為（6，﹣2）．

綜上所述：P點坐標為（）或（6，﹣2）；

（3）QN=3﹣（﹣1）=4，當點N落在y軸上，如圖3．

∵△QGM沿QG翻折得到△QGN，∴∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，∴N點為AC與y軸的交點，∴Q點的坐標為（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）；

當點N落在x軸上，QM與x軸交于點F，如圖4，設Q（t，3）（﹣4≤t＜0）

∵△QGM沿QG翻折得到△QGN，∴∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，GN=GM=﹣t．在Rt△OFN中，FN==，而OF=﹣t，ON=﹣t=，解得：t=﹣，此時Q點的坐標為（﹣，3），當0＜t≤4，易得Q點的坐標為（，3）．

綜上所述：Q點坐標為（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）或（﹣，3）或（，3）．