Question

【題目】如圖，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE=45°，連接EF、BF，則下列結論：①△AED≌△AEF ②△ABE∽△ACD，③BE＋DC＞DE④BE2＋DC2=DE2，其中正確的有（ ）個

A．1 B．2 C．3 D．4

Answer 1

【答案】C．

【解析】

試題解析：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，

∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．

在△AED與△AEF中，

，

∴△AED≌△AEF（SAS），①正確；

②∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABE=∠C=45°．

∵點D、E為BC邊上的兩點，∠DAE=45°，

∴AD與AE不一定相等，∠AED與∠ADE不一定相等，

∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，

∴∠BAE與∠CAD不一定相等，

∴△ABE與△ACD不一定相似，②錯誤；

③∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．

在△ACD與△ABF中，

，

∴△ACD≌△ABF（SAS），

∴CD=BF，

由①知△AED≌△AEF，

∴DE=EF．

在△BEF中，∵BE+BF＞EF，

∴BE+DC＞DE，③正確；

④由③知△ACD≌△ABF，

∴∠C=∠ABF=45°，

∵∠ABE=45°，

∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．

在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，

∵BF=DC，EF=DE，

∴BE2+DC2=DE2，④正確．

故選C．