Question

P是凸四邊形內(nèi)的一點(diǎn)，P與四個(gè)頂點(diǎn)連接得到的四條線段的長分別為1，2，3，4．那么，這個(gè)四邊形的面積的最大值為（　　）

• A、10.5
• B、12
• C、12.5
• D、15

Answer 1

分析：首先討論當(dāng)兩邊a、b一定時(shí)，要是三角形的面積最大，必須兩邊的夾角最大，即是直角時(shí)，由此得到AC⊥BD，分別求出所有的情況，找出最大值即可．

解答：解：圖（1）中，設(shè)△EFG的邊FG=a、EG=b，過E作EH⊥FG于H，
sinG=

EH

b

，
∴EH=bsinG，
S_△EFG=

1

2

•FG•EH=

1

2

absinG，
要是△EFG的面積最大，當(dāng)a、b一定時(shí)，sinG最大，
即sinG=1，即∠G=90°．
同理：連接PA、PB、PC、PD，
∵S_{四邊形ABCD}=S_△PAB+S_△PBC+S_△PCD+S_△PAD，
要是四邊形ABCD的面積最大，必須△PAB、△PBC、△PCD、△PAD的面積最大，
由上面證明可知當(dāng)兩邊一定時(shí)，兩邊的夾角是直角時(shí)面積最大，
即AC⊥BD時(shí)面積最大，
有下面三種情況：
（1）當(dāng)BD=1+2=3，AC=3+4=7時(shí)，S=

1

2

×3×7=10.5；
（2）當(dāng)BD=1+4=5，AC=2+3=5時(shí)，S=

1

2

×5×5=12.5；
（3）當(dāng)BD=1+3=4，AC=2+4=6時(shí)，S=

1

2

×4×6=12；
∴四邊形ABCD的面積的最大值是12.5．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了面積及等積變換，三角形的面積公式，解此題的關(guān)鍵是得出當(dāng)兩邊一定時(shí)，兩邊的夾角是90°時(shí)，三角形的面積最大的結(jié)論．