Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，連接BD與AM，AN分別交于E，F點，則下列結論正確的有_____．

①MN=BM+DN

②△CMN的周長等于正方形ABCD的邊長的兩倍；

③EF2=BE2+DF2；

④點A到MN的距離等于正方形的邊長

⑤△AEN、△AFM都為等腰直角三角形．

⑥S△AMN=2S△AEF

⑦S正方形ABCD：S△AMN=2AB：MN

⑧設AB=a，MN=b，則≥2﹣2．

Answer 1

【答案】①②③④⑤⑥⑦．

【解析】

將△ABM繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADH．證明△MAN≌△HAN，得到MN=NH，根據三角形周長公式計算判斷①；判斷出BM=DN時，MN最小，即可判斷出⑧；根據全等三角形的性質判斷②④；將△ADF繞點A順時針性質90°得到△ABH，連接HE．證明△EAH≌△EAF，得到∠HBE=90°，根據勾股定理計算判斷③；根據等腰直角三角形的判定定理判斷⑤；根據等腰直角三角形的性質、三角形的面積公式計算，判斷⑥，根據點A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長、三角形的面積公式計算，判斷⑦．

將△ABM繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADH．

則∠DAH=∠BAM，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAN+∠DAN=45°，

∴∠NAH=45°，

在△MAN和△HAN中，

，

∴△MAN≌△HAN，

∴MN=NH=BM+DN，①正確；

∵BM+DN≥2，（當且僅當BM=DN時，取等號）

∴BM=DN時，MN最小，

∴BM=b，

∵DH=BM=b，

∴DH=DN，

∵AD⊥HN，

∴∠DAH=∠HAN=22.5°，

在DA上取一點G，使DG=DH=b，

∴∠DGH=45°，HG=DH=b，

∵∠DGH=45°，∠DAH=22.5°，

∴∠AHG=∠HAD，

∴AG=HG=b，

∴AB=AD=AG+DG=b+b=b=a，

∴，

∴，

當點M和點B重合時，點N和點C重合，此時，MN最大=AB，

即：，

∴≤≤1，⑧錯誤；

∵MN=NH=BM+DN

∴△CMN的周長=CM+CN+MN=CM+BM+CN+DN=CB+CD，

∴△CMN的周長等于正方形ABCD的邊長的兩倍，②結論正確；

∵△MAN≌△HAN，

∴點A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長AD，④結論正確；

如圖2，將△ADF繞點A順時針性質90°得到△ABH，連接HE．

∵∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE，

∴∠EAH=∠EAF=45°，

∵EA=EA，AH=AD，

∴△EAH≌△EAF，

∴EF=HE，

∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，

∴∠HBE=90°，

在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，

∵BH=DF，EF=HE，

∵EF2=BE2+DF2，③結論正確；

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，

∵∠MAN=45°，

∴∠EAN=∠EDN，

∴A、E、N、D四點共圓，

∴∠ADN+∠AEN=180°，

∴∠AEN=90°

∴△AEN是等腰直角三角形，

同理△AFM是等腰直角三角形；⑤結論正確；

∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，

∴AM=AF，AN=AE，

如圖3，過點M作MP⊥AN于P，

在Rt△APM中，∠MAN=45°，

∴MP=AMsin45°，

∵S△AMN=ANMP=AMANsin45°，

S△AEF=AEAFsin45°，

∴S△AMN：S△AEF=2，

∴S△AMN=2S△AEF，⑥正確；

∵點A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長，

∴S正方形ABCD：S△AMN==2AB：MN，⑦結論正確．

即：正確的有①②③④⑤⑥⑦，

故答案為①②③④⑤⑥⑦．