Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點．

（1）求證：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點A旋轉，當∠EAC=90°時，求PB的長；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PB的長為或．

【解析】試題分析：（1）依據等腰三角形的性質得到AB=AC，AD=AE，依據同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依據SAS可證明△ADB≌△AEC，最后，依據全等三角形的性質可得到BD=CE；

（2）分為點E在AB上和點E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據相似三角形的性質進行證明即可．

試題解析：解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，∴△ADB≌△AEC，∴BD=CE．

（2）解：①當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，∴CE==．

同（1）可證△ADB≌△AEC，∴∠DBA=∠ECA．

∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC，∴，∴，∴PB=．

②當點E在BA延長線上時，BE=3．

∵∠EAC=90°，∴CE==．

同（1）可證△ADB≌△AEC，∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴，∴，∴PB=．

綜上所述，PB的長為或．