Question

如圖，已知二次函數y=x²+bx+3與x軸交于點B（3，0），與y軸交于點A，O為坐標原點，P是二次函數y=x²+bx+3的圖象上一個動點，點P的橫坐標是m，且m＞3，過點P作PM，PM交直線AB于M．
（1）求二次函數的解析式；
（2）若以AB為直徑的⊙N恰好與直線PM相切，求此時點M的坐標；
（3）在點P的運動過程中，△APM能否為等腰三角形？若能，求出點P的坐標；若不能請說出理由．

Answer 1

（1）將點B（3，0）坐標代入y=x²+bx+3得：0=9+3b+3，
解得b=-4，
∴二次函數的解析式為y=x²-4x+3；

（2）令x=0，則y=3，∴A點坐標為A（0，3），
直線AB的解析式為y=-x+3，
C為⊙C的圓心，CA=CB=

3

2

2

，
故C點坐標為（

3

2

，

3

2

），
過C作CD⊥PM于點D，CD=CA=CB=

3

2

2

，
∴D點坐標為（

3

2

(1+

2

)，

3

2

），
x_M=

3

2

(1+

2

)，
將x_M=

3

2

(1+

2

)代入y=-x+3得y_M=

3

2

(1-

2

)，
∴點M的坐標為（

3

2

(1+

2

)，

3

2

(1-

2

)）；

（3）若△APM為等腰三角形，進行分類討論；
①當PA=PM時，P（m，m²-4m+3）則M（m，-m+3），
|PM|=|m²-3m|，|PA|=

m2+(m2-4m)2

，|AM|=

m2+(3+m-3)2

=m

2

；
由PA=PM可得|m²-3m|=

m2+(m2-4m)2

，
解得m=4，m²-4m+3=3，
則P點坐標為P（4，3），
②當PA=AM時，

m2+(m2-4m)2

=m

2

，
解得m=3，或m=5，
當m=3時，m²-4m+3=0，由題意可知m＞3，故m=3不合題意；
當m=5時，m²-4m+3=8，
故點P坐標為（5，8），
③當PA=AM時，|m²-3m|=m

2

，
解得m=3+

2

或m=3-

2

，
由題意可知m＞3，故m=3-

2

舍去，
當m=3+

2

時，m²-4m+3=2

2

+2，
故點P坐標為（3+

2

，2+

2

）．