Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-

5

4

x²+bx+c經過點A（0，1）、B（3，

5

2

）兩點，BC⊥x軸，垂足為C．點P是線段AB上的一動點（不與A，B重合），過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫坐標為t．
（1）求此拋物線的函數表達式；
（2）連結AM、BM，設△AMB的面積為S，求S關于t的函數關系式，并求出S的最大值；
（3）連結PC，當t為何值時，四邊形PMBC是菱形？

Answer 1

（1）∵拋物線y=-

5

4

x²+bx+c經過點A（0，1）、B（3，

5

2

）兩點，
∴

c=1 - 5 4 ×9+3b+c= 5 2

，
解得：

b= 17 4 c=1

，
∴拋物線解析式為：y=-

5

4

x2+

17

4

x+1；

（2）∵設點P的橫坐標為t，
∴M點坐標為：（t，-

5

4

t²+

17

4

t+1），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，
則

b=1 3k+b= 5 2

，
解得：

k= 1 2 b=1

，
∴直線AB的解析式為：y=

1

2

x+1，
∵P點在直線AB上，點P的橫坐標為t，
∴P點的縱坐標為：

1

2

t+1，
∴MP=-

5

4

t²+

17

4

t+1-

1

2

t-1=-

5

4

t²+

15

4

t，
∴S_△AMB=S_△AMP+S_△BMP=

1

2

×（-

5

4

t²+

15

4

t）×t+

1

2

×（-

5

4

t²+

15

4

t）×（3-t）
=-

15

8

t²+

45

8

t，
當t=

3

2

時，S最大值=

135

32

；

（3）t=1時，四邊形PMBC為菱形．
理由：∵BC∥PM，當BC=MP時，四邊形MPCB是平行四邊形，
當BC=PC時，平行四邊形PMBC是菱形，
∵B（3，

5

2

），
∴BC=

5

2

，即MP=PC=

5

2

=-

5

4

t²+

15

4

t，
解得：t₁=1，t₂=2，
PC=

( 1 2 t+1)2+(3-t)2

=

5

2

，
解得：t₁=1，t₂=3，
只有同時滿足兩個方程才可以，
故t=1．此時四邊形PMBC為菱形．