Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、分別落在軸、軸正半軸上，點在邊上，點在邊上，且，已知，．

（1）求點的坐標；

（2）點關于點的對稱點為點，點從點出發，以每秒1個單位的速度沿射線運動，設點的運動時間為秒，的面積為，用含的代數式表示；

（3）在（2）的條件下，點為平面內一點，點在線段上運動時，作的平分線交軸于點，為何值時，四邊形為矩形？并求此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）故當t=4時，四邊形為矩形，此時M（6，-3）．

【解析】

（1）先確定出點A的坐標，進而得出OA，最后在Rt△OEF中，利用勾股定理求出OE即可得出點E的坐標；

（2）分兩種情況，用三角形的面積公式即可解決問題；

（3）先利用對稱求出點D的坐標，進而得出OD，由角平分線的性質定理得出DP=OD求出點P的坐標，再利用勾股定理求出點N的坐標，根據矩形的性質，由點的平移方式即可求得點M的坐標．

解：（1）在矩形OABC中，B（6，8），
∴A（6，0），
∴OA=6，
設OE=a，
∴EF=AE=OA-OE=6-a，

∵，

，

在Rt△AEF中，根據勾股定理得，OE2+OF2=EF2，
∴a2+12=（6-a）2，
∴，

∴；

（2）∵BC∥OA，B（6，8），OC=AB=8，
∴P（t，8），PB=|t-6|
①當點P在邊BC上時，如圖1，

∴0≤t＜6，
∴PB=6-t，

；

②當點P在CB的延長時，如圖2，

∴t＞6，
∴PB=t-6，

，

即：；

（3）由（1）知，，
∴，
∵點D是點E關于點A的對稱點，
∴，

∴，

如圖3，

∵四邊形DPNM是矩形，
∴∠DPN=90°=∠DON，
∴NP⊥DP，NO⊥OD，
∵DN是∠PDO的平分線，
∴NO=NP，

在Rt△NDO和Rt△NDP中，

，

∴Rt△NDO≌Rt△NDP（HL），

∴，
∵P（t，8），，
∴，
∴，（點P在線段BC上，舍去）

∴P（4，8）
設N（0，n），
∴ON=n，
∴PN=n，CN=OC-ON=8-n，

在Rt△CNP中，根據勾股定理得，CN2+CP2=PN2，
∴（8-n）2+16=n2，
∴n=5，
∴N（0，5），

即點P（4，8）平移到N（0，5），向左平移四個單位，向下平移3個單位，

點D（10,0）由此方式平移后得到的M（6，-3）．

故當t=4時，四邊形為矩形，此時M（6，-3）．