Question

如圖，在直角坐標系中，已知點A、B在x軸上，且B（t，0）（-1＜t＜0），等腰△ABC的頂點B在以AC為直徑的半圓D上，點E是直線OC與半圓D除點C以外的另一個交點，連接AE與BC相交于點F．又已知拋物線y=a（x²-2x）向左平移2個單位長度后點O恰與點A重合、點M恰與原點O重合，并把平移后所得拋物線記為H．
（1）求證：BF=BO；
（2）如果拋物線H還經過點F，試用含t的式子表示a；
（3）若AE經過△AOC的內心I，試求出此時經過三點A、F、O的拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，問在拋物線上是否存在點P，使該點關于直線AF的對稱點在x軸上？若存在，請求出所有這樣的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AC為半圓的直徑，
∴∠ABC=∠CBO=90°，∠AEC=90°；
∵△ABC為等腰三角形，
∴BA=BC；
∵∠AEC=90°，點C、E、O在同一直線上，
∴∠AEO=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2；
在△ABF與△CBO中，
∵，
∴△ABF≌△CBO，
∴BF=BO．

（2）解：∵點B（t，0），
∴BF=BO=-1，即點F的坐標（t，-t）；
y=a（x²-2x）=a（x-1）²-a，即原拋物線的頂點為（1，-a）；
由題意知，拋物線H的解析式可記為y=a（x+1）²-a；
∵拋物線H過點F（t，-t），
∴-t=a（t+1）²-a，at²+2at+a-a=-t
即：a==-（-1＜t＜0）．

（3）解：∵O、M是拋物線y=a（x²-2x）與x軸的交點，
∴O（0，0）、M（2，0）；
由題意知：A（-2，0）、OA=2；
∵AE過△ACO的內心I，
∴∠1=∠4；
∵∠AEC=∠AEO=90°，AE=AE
∴△ACE≌△AOE，
∴AC=AO，且AC與AO關于直線AE對稱；
在Rt△ABC中，AC=2，∠ACB=45°，
∴AB=，
∴BO=2-，t=-2；
此時拋物線H的解析式為y=-（x²+2x），即：y=-x²-x．

（4）解：由（3）可知，直線AC與AO關于直線AE對稱，所以只要直線AC與拋物線H有交點，那么就存在滿足題意的點P；
設直線AC的解析式為y=kx+b，代入點A（-2，0）、C（-2，），得：
，
解得
故直線AC：y=x+2；
聯立直線AC和拋物線的解析式，有：
，
解得，
故所求點P的坐標為P₁（-2，0）、P₂（-，2-），即在拋物線H上存在點P₁和P₂，其關于直線AF的對稱點在x軸上．
分析：（1）通過觀察圖形，若證線段相等，可以證明它們所在的三角形全等，即證△OBC、△FBA全等即可；這兩個三角形中，∠FAB、∠BCO對應的是同一段弧，所以這一對角相等，而∠CBO、∠ABF都是直角，且AB、BC是等腰三角形的腰，不難判斷這兩個三角形全等，則題目可證．
（2）由（1）的結論可以得出點F的坐標，而平移后的拋物線H可由“左加右減、上加下減”的平移規律得出，將點F的坐標代入拋物線H的解析式中求解即可．
（3）在（2）中，已經求出了用t表示出來的拋物線H的解析式，所以此題的關鍵是求出t的值；點I是△AOC的內心，所以直線AE是∠CAO的角平分線，即直線AC、AO關于直線AE對稱，而AE⊥OC（圓周角定理），那么顯然△AOC是等腰三角形，且AO=AC；拋物線左移2個單位后，O、A以及M、O重合，所以OA=OM=2，由此不難看出AO=AC=2；而△ABC是等腰直角三角形，由此可以求出AB的長，由OB=OA-AB即可得出t的值，由此得解．
（4）在（3）題中已經明確了直線AC、AO關于直線AE對稱，且AO正好位于x軸上，所以直線AC與拋物線的交點都符合點P的要求．
點評：考查了二次函數和圓的綜合題，涉及了二次函數解析式的確定、圓周角定理、三角形的內心、全等三角形的判定和性質以及軸對稱圖形的性質等重要知識點；后面三題環環相扣，緊扣圖形是解題的主要思路．