Question

【題目】已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝．E為矩形外一點，且△EBA∽△ABD．

(1)、求AE和BE的長；

(2)、若將△ABE沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經過的線段長度）．當點E分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應的m的值；

(3)、如圖②，將△ABE繞點B順時針旋轉一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的△ABE為△A′BE′，在旋轉過程中，設A′E′所在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q．是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、AE＝4，BE＝3；(2)、m=3；m=；(3)、DQ=3－、、－或.

【解析】

試題分析：(1)、根據三角形相似得出AE和BE的長度；(2)、分兩種情況分別計算出m的值；(3)、分四種情況分別求出DQ的長度.

試題解析：(1)、AE＝4，BE＝3

(2)、點E在AB上時，m＝3；點E在AD上時，m=

(3)、存在．理由如下：在旋轉過程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：

①如圖3﹣1所示，點Q落在BD延長線上，且PD＝DQ，求得DQ=3－；

②如圖3﹣2所示，點Q落在BD上，且PQ＝DQ，求得DQ=；

③如圖3﹣3所示，點Q落在BD上，且PD＝DQ，求得DQ=－；

④如圖3﹣4所示，點Q落在BD上，且PQ＝PD，求得DQ=．

綜上所述，存在4組符合條件的點P、點Q，使△DPQ為等腰三角形：

DQ的長度分別為3－、、－或.