Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是BC上的一點，且AE=AD，又DF⊥AE于點F

（1）求證：CE=EF；

（2）若EF=2，CD=4，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）20

【解析】

（1）連接DE，利用矩形的性質(zhì)，則可證得Rt△ABE≌Rt△DFA，進一步可證得Rt△DFE≌Rt△DCE，則可證得結論；

（2）設BE=x，則AF=x，AE=x+2，在Rt△ABE中，利用勾股定理，可求得AE，則可求得BC的長，可求得矩形ABCD的面積．

（1）如圖，連接DE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAF=∠AEB，

∵DF⊥AE，

∴∠AFD=∠B=90°．

又∵AD=AE，

∴Rt△ABE≌Rt△DFA．

∴AB=CD=DF．

又∵∠DFE=∠C=90°，DE=DE，

∴Rt△DFE≌Rt△DCE．

∴EC=EF；

（2）∵EF=EC=2，CD=AB=4，

∴設BE=x，則AF=x，AE=x+2．

在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2，

∴42+x2=（x+2）2．

解這個方程得：x=3，

∴BC=5．

∴矩形ABCD的面積=5×4=20．