Question

【題目】如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG，E點(diǎn)正好落在邊CD上，連接BE，BG，且BG交AE于P．

（1）求證：∠CBE=∠BAE；

（2）求證：PG=PB；

（3）若AB=，BC=3，求出BG的長．

Answer 1

【答案】（3）

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得AE=AB，由此可得∠BAE=180°-2∠ABE，結(jié)合∠CBE=90°-∠ABE即可得到∠CBE=∠BAE；

（2）如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥AE于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，由AE=BE，易得BM=EN=BC=GA，再證△PBM≌△PGA即可得到PG=PB；

（3）如圖1，BM=BC=3，結(jié)合AB=在Rt△ABM中由勾股定理可得AM=，由（2）中△PBM≌△PGA可得PM=AP=AM=，由此在Rt△PBM中可得PB=結(jié)合（2）中結(jié)論PB=PG即可得到BG=2PB=.

試題解析：

（1）∵矩形AEFG是由矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AE=AB，∠ABC=90°，

∴∠ABE=∠AEB，

∴∠BAE=180°-2∠ABE，

∵∠CBE=90°-∠ABE，

∴∠CBE=∠BAE；

（2）如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥AE于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，

∴S△ABE=AB·EN=AE·BM，

∵AE=AB，

∴BM=EN=BC=GA，

∵矩形AEFG是由矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到的，

∴∠BMA=∠ENB=∠ABC=∠C=∠GAE=90°，GA=EF=BC，

∴四邊形ENBC是矩形，

∴EN=BC=GA，

∴BM=GA，

又∵∠APG=∠MPB，

∴△PBM≌△PGA，

∴PG=PB；

（3）如圖1，∵BM=BC=3，∠AMB=90°，AB=，

∴AM=，

∵△PBM≌△PGA，

∴PM=PA=，

∴在Rt△PBM中，PB=，

又∵PB=PG，

∴BG=.