Question

【題目】已知∠AOB=70°，∠AOD=∠AOC，∠BOD=3∠BOC（∠BOC＜45°），則∠BOC的度數是______．

Answer 1

【答案】10°或14°或30°或42°

【解析】

①當射線OC在∠AOB內部時，此時射線OD的位置只有兩種可能：i）若射線OD在∠AOC內部，ii）若射線OD在∠AOB外部，

②當射線OD在∠AOB外部時，i）若射線DO在∠AOB內部，ii）若射線OD在∠AOB外部分別求出即可．

解：設∠BOC=α，

∴∠BOD=3∠BOC=3α，

依據題意，分兩種情況：

①當射線OC在∠AOB內部時，此時射線OD的位置只有兩種可能：

i）若射線OD在∠AOC內部，如圖2，

∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=2α，

∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，

∴α=14°，

∴∠BOC=14°；

ii）若射線OD在∠AOB外部，如圖3，

∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=α，

∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-α=α=70°，

∴α=30°，

∴∠BOC=30°；

②當射線OD在∠AOB外部時，

依據題意，此時射線OC靠近射線OB，

∵∠BOC＜45°，∠AOD=∠AOC，

∴射線OD的位置也只有兩種可能：

i）若射線DO在∠AOB內部，如圖4，

則∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=4α，

∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=4α，

∴AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，

∴α=10°，

∴∠BOC=10°

ii）若射線OD在∠AOB外部，如圖5，

則∠COD=∠BOC+∠DOB=4α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=α，

∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-α=α=70°，

∴α=42°，

∴∠BOC=42°，

綜上所述：∠BOC的度數分別是10°，14°，30°，42°．

故答案為：10°或14°或30°或42°