Question

【題目】在平面直角坐標系中，OA＝4，OC＝8，四邊形ABCO是平行四邊形．

（1）求點B的坐標及四邊形ABCO的面積；

（2）若點P從點C以2單位長度/秒的速度沿CO方向移動，同時點Q從點O以1單位長度/秒的速度沿OA方向移動，設移動的時間為t秒，△AQB與△BPC的面積分別記為，，四邊形QBPO的面積是否發生變化，若不變，求出并證明你的結論，若變化，求出變化的范圍．

（3）在（2）的條件下，是否存在某個時同，使，若存在，求出t的值，若不存在，試說明理由；

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為（8，4），四邊形ABCO的面積32；（2）四邊形QBPO的面積不發生變化，面積為定值16，證明過程見解析；（3）存在t的值，此時．

【解析】

（1）先證四邊形ABCO是矩形，進而可根據OA＝4，OC＝8求得答案；

（2）由題意可知OQ＝t，CP＝2t，進而可用含t的代數式表示S△ABQ及S△BCP，進而可根據 S四邊形QBPO＝S矩形ABCO－ S△ABQ－ S△BCP＝32－(16－4t)－4t，化簡即可得到答案；

（3）由（2）可知：S△ABQ＝16－4t，S四邊形QBPO＝16，再結合即可求得t的值．

解：（1）∵四邊形ABCO是平行四邊形，∠AOC＝90°，

∴四邊形ABCO是矩形，

∵OA＝4，OC＝8，

∴點B的坐標為（8，4），S矩形ABCO＝OA·OC＝8×4＝32，

（2）∵四邊形ABCO是矩形，

∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，

由題意可知：OQ＝t，CP＝2t，

∴AQ＝OA－OQ＝4－t，

∴S△ABQ＝AB·AQ＝×8(4－t)＝16－4t，

S△BCP＝BC·CP＝×4×2t＝4t，

∴S四邊形QBPO＝S矩形ABCO－S△ABQ－S△BCP

＝32－(16－4t)－4t

＝32－16+4t－4t

＝16，

∴四邊形QBPO的面積不變，面積為16；

（3）由（2）可知：S△ABQ＝16－4t，S四邊形QBPO＝16，

∵，

∴，

解得，

∴存在t的值使得，此時．