Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交線段AD于E，垂足為F．若△CDF為等腰三角形，則 =_____．

Answer 1

【答案】1；；．

【解析】解：①如圖，連接DF．

當(dāng)FC=FD時(shí)，∠FDC=∠FCD．∵∠ADF+∠FDC=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠FAD=∠FDC，∴FA=DF，∴FA=FC．∵BF⊥AC，∴BA=BC．∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，則=1；

②當(dāng)DF=CD時(shí)，作DM⊥CF于M點(diǎn)．∵DF=CD，∴FM=CM．∵∠DCM=BAF，CD=AB，∴△ABF≌△CDM，∴AF=CM，∴===；

③當(dāng)FC=DC時(shí)．∵四邊形ABCD是矩形，BF⊥AC，∴△ABF∽△BCF，∴==，則CD2=ADAE．∵FC=DC，四邊形ABCD是矩形，BF⊥AC，∴△BFC≌△ABE，（AAS）

∴AE=BF．在Rt△ABE中，AE2=BE2﹣AB2=AD2﹣CD2，∴AE==，∴AE2=AD2﹣ADAE，AD2﹣ADAE﹣AE2=0，解得：AD=AE，AD=AE（不合題意舍去），∴==．

故答案為：1；．