Question

【題目】如圖，

（1）如果，AC垂直平分BD．那么，CA平分∠BAD嗎？CA平分∠BCD嗎？

（2）如果，CA平分∠BAD，且CB⊥AB，CD⊥AD．那么，AC垂直平分BD．

Answer 1

【答案】（1）CA平分∠BAD，CA平分∠BCD；（2）AC垂直平分BD

【解析】（1）CA平分∠BAD，CA平分∠BCD

因為，AC垂直平分BD

所以，AB=AC，CB=CD

（線段垂直平分線上點到這條線段兩個端點的距離相等）

又因為，AC=AC

所以，在△ABC和△ADC中

所以，△ABC≌△ADC（SSS）

所以，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA（全等三角形的對應角相等）

所以，CA平分∠BAD，CA平分∠BCD

（2）因為，CA平分∠BAD，且CB⊥AB，CD⊥AD

所以，CB=CD（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）

又因為，∠ABC=∠ADC=90°（垂直定義）而∠BAC=∠DAC

所以，在△ABC和△ADC中

所以，△ABC≌△ADC（AAS）

所以，AB=AD（全等三角形的對應邊相等）

所以，△ABD是等腰三角形

因此，AC垂直平分BD（等角三角形頂角的平分線是底邊上高，也是底邊上的中線）