Question

（2000•朝陽區）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點，連接AC、BC、過O點作AB的垂線，交BC于E，交半圓于F，交AC的延長線于D．
（1）求證：=；
（2）如果OA=2，點C在弧AF上運動（不與點A，F重合）．設OE的長為x，△AOD的面積為y，求y和x之間的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并畫出函數圖象．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB是直徑得出∠ACB是直角，推出∠A和∠B的和為90°，再由OD與AB垂直得出∠A與∠D的和為90°，從而得出角的等量關系，即可得到△OEC∽△OCD，從而推出結論．
（2）由△OEC∽△OCD得出邊的比例關系，再由三角形的面積公式即可得出y和x之間的函數關系式，再求出自變量x的取值范圍即可．
解答：（1）證明：∵OC=OB
∴∠OCB=∠B
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∵OD⊥AB
∴∠A+∠D=90°
∴∠D=∠B=∠OCB
∵∠EOC=∠COD
∴△OEC∽△OCD
∴=
∴=（6分）

（2）解：∵△OEC∽△OCD
∴
∴OC²=OE•OD
∵OC=2，OE=x
∴2²=x•OD
∴（8分）
又∵y=，∴，
∴y=（9分）
∴自變量x的取值范圍是0＜x＜2（10分）
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，以及二元一次函數的應用，綜合性強，難度適中．