Question

【題目】如圖1，⊙O的直徑AB=12，P是弦BC上一動點（與點B，C不重合），∠ABC=30°，過點P作PD⊥OP交⊙O于點D．

（1）如圖2，當PD∥AB時，求PD的長；

（2）如圖3，當時，延長AB至點E，使BE=AB，連接DE．

①求證：DE是⊙O的切線；

②求PC的長．

Answer 1

【答案】（1） （2）①證明見解析②3﹣3

【解析】

試題分析：（1）根據題意首先得出半徑長，再利用銳角三角三角函數關系得出OP，PD的長；

（2）①首先得出△OBD是等邊三角形，進而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；

②首先求出CF的長，進而利用直角三角形的性質得出PF的長，進而得出答案．

試題解析：（1）如圖2，連接OD，

∵OP⊥PD，PD∥AB，

∴∠POB=90°，

∵⊙O的直徑AB=12，

∴OB=OD=6，

在Rt△POB中，∠ABC=30°，

∴OP=OBtan30°=6×=2，

在Rt△POD中，

PD===；

（2）①如圖3，連接OD，交CB于點F，連接BD，

∵，

∴∠DBC=∠ABC=30°，

∴∠ABD=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等邊三角形，

∴OD⊥FB，

∵BE=AB，

∴OB=BE，

∴BF∥ED，

∴∠ODE=∠OFB=90°，

∴DE是⊙O的切線；

②由①知，OD⊥BC，

∴CF=FB=OBcos30°=6×=3，

在Rt△POD中，OF=DF，

∴PF=DO=3（直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半），

∴CP=CF﹣PF=3﹣3．