Question

如圖，長方形ABCD中，AB=3，BC=4，若將該矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕EF的長為（　　）

A．3.74

B．3.75

C．3.76

D．3.77

Answer 1

分析：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)就可以求出AG=CD，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°．由矩形的性質(zhì)和勾股定理就可以求出DE，再由△ABF∽△AGE，就可以求出BF的值，在Rt△FHE中由勾股定理就可以求出EF的值．

解答：解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，
∴∠EHC=∠EHF=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，AB=CD，AD=BC，
∵AB=3，BC=4，
∴CD=3，AD=4
∴∠EHC=∠C=∠D=90°，
∴四邊形EHCD是矩形，
∴EH=CD，ED=CH．
∵四邊形AFEG與四邊形CFED關(guān)于EF對(duì)稱，
∴四邊形AFEG≌四邊形CFED
∴AG=CD=3，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°．
設(shè)ED=x，則GE=x，AE=4-x，在Rt△AGE中，由勾股定理，得
9+x²=（4-x）²，
解得：x=

7

8

，
∴AE=

25

8

．
∵∠GAE+∠FAE=∠FAE+∠BAF=90°，
∴∠GAE=∠BAF．
∵∠G=∠B=90°，
∴△ABF∽△AGE，
∴

AB

AG

=

BF

GE

，
∴

3

3

=

BF

7 8

，
∴BF=

7

8

．
∴FH=4-

7

8

-

7

8

=

9

4

．
在Rt△FHE中，由勾股定理，得
EF=

15

4

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，矩形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用勾股定理求解是關(guān)鍵．