Question

如圖，已知A為優弧中點，且AB=BC，E為劣弧

BC

上一點．
（1）求證：AE=BE+CE
（2）試猜想，當點E在優弧

BC

上運動時，線段AE、BE、CE之間具有怎樣的關系，畫圖并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）連接AC，先由A為優弧中點，且AB=BC，得到△ABC為等邊三角形，然后在AE上截取EF=BE，連接BF，則△EFB為等邊三角形，可證明△ABF≌△CBF，得AF=CE，由此證得AE=BE+CE．
（2）猜想的結果為：AE=|BE-CE|，當點E在優弧

BC

上運動時，由于△ABC為等邊三角形，所以E在

BC

，

AB

，

AC

上一樣，圖形沒變，只是字母變了，所以證明的方法一樣，結論形式一樣，改變字母即可．不過要把E在

AB

，

AC

上的結論合起來．

解答：（1）證明：連接AC
∵AB=BC，且點A為

BC

中點，
∴△ABC為等邊三角形，
在AE上截取EF=BE，連接BF，
∵∠AEB=∠ACB=60°，且EF=BE，
∴△EFB為等邊三角形，
∵∠ABC=∠FBC=60°，
∴∠ABF=∠EBF，
在△ABF和△CBE中
∵AB=CB
∠ABF=∠CBF
BF=BE
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，
∴AE=BE+CE．

（2）解：猜想的結果為：AE=|BE-CE|．
當E點在

AC

上則有：AE=BE-CE．
證明：如圖，連接AC，
∵AB=BC，且A為

BC

中點，
∴△ABC為等邊三角形，
在BE上取EF=AE，連接AF，
∵∠AEF=∠ACB=60°，且EF=AE，
∴△EFA為等邊三角形，
∵∠BAC=∠FAE=60°，
∴∠BAF=∠EAC．
在△ABF和△ACE中
∵AB=AC
∠BAF=∠EAC
AF=AE
∴△ABF≌△ACE
∴BF=CE，
∴AE=BE-CE．
當E點在

AB

上則有：AE=CE-BE．證明方法一樣．
所以當點E在優弧

BC

上運動時，線段AE、BE、CE之間具有的關系為：AE=|BE-CE|．

點評：本題考查了圓周角定理．同弧所對的圓周角相等，并且等于它所對的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的性質和三角形全等的判定．特別是證明一條線段是另外兩條線段的和時，通常采用在長線段上截取一段等于其中一條線段，然后證明余下部分等于另一條線段．