Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，以⊙O的弦AB為直徑作⊙M，點(diǎn)C是⊙O優(yōu)弧

AB

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合）．連接AC、BC，分別與⊙M相交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，連接DE．若AB=2

3

．
（1）求∠C的度數(shù)；
（2）求DE的長(zhǎng)；
（3）如果記tan∠ABC=y，

AD

DC

=x（0＜x＜3），那么在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，試用含x的代數(shù)式表示y．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，連OM，OB，可求出∠BOM的度數(shù)，∠C=∠BOM．
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形一外角等于它的內(nèi)對(duì)角，可證明△CDE∽△CBA，兩三角形相似對(duì)應(yīng)線段成比例，同時(shí)運(yùn)用（1）中∠C=60°可得

CD

CB

的值，能計(jì)算出DE的長(zhǎng)．
（3）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，連接AE，在直角三角形中用三角函數(shù)可求出y與x之間的關(guān)系．

解答：解：（1）如圖：連接OB、OM．
則在Rt△OMB中，∵OB=2，MB=

3

，∴OM=1．
∵OM=

1

2

OB，∴∠OBM=30°．
∴∠MOB=60°．
連接OA．則∠AOB=120°．
∴∠C=

1

2

∠AOB=60°．

（2）∵四邊形ABED內(nèi)接于⊙M，
∴∠CBA+∠ADE=180°，
∵∠CDE+∠ADE=180°，
∴∠CDE=∠CBA，
在△CDE和△CBA中，
∵∠CDE=∠CBA，∠ECD=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，∴

DE

AB

=

DC

BC

．
連接BD，則∠BDC=∠ADB=90°．
在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°，∴∠CBD=30°．∴BC=2DC．
∴

DC

BC

=

1

2

．即

DE

AB

=

1

2

．
∴DE=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

．

（3）連接AE．
∵AB是⊙M的直徑，∴∠AEB=∠AEC=90°．
由

AD

DC

=x，可得AD=x•DC，AC=AD+DC=（x+1）•DC．
在Rt△ACE中，∵cos∠ACE=

CE

AC

，sin∠ACE=

AE

AC

，
∴CE=AC•cos∠ACE=（x+1）•DC•cos60°=

1

2

(x+1)•DC；
AE=AC•sin∠ACE=（x+1）•DC•sin60°=

3

2

(x+1)•DC．
又由（2），知BC=2DC．
∴BE=BC-CE=2DC-

1

2

(x+1)•DC=

1

2

(3-x)•DC．
在Rt△ABE中，tan∠ABC=

AE

BE

=

3 2 (x+1)•DC

1 2 (3-x)•DC

=

3 (x+1)

3-x

，
∴y=

3 (x+1)

3-x

（0＜x＜3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓周角與圓心角之間的關(guān)系，園中相似三角形的運(yùn)用，以及由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得直角三角形，在直角三角形中對(duì)三角函數(shù)的靈活運(yùn)用．