Question

【題目】綜合探究

問題情境：

我們在第十一章《三角形》中學習了三角形的邊與角的性質，在第十二章《全等三角形》中學習了全等三角形的性質和判定.在一些探究題中經常用以上知識轉化角和邊，進而解決問題.

問題初探：

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,點D為直線AB上的一個動點（D與A，B不重合），連接CD，以CD為直角邊作等腰直角三角形CDE，連接BE.

（1）當點D在線段AB上時，AD與BE的數量關系是 ；位置關系是 ；AB，BD，BE三條線段之間的關系是 .

類比再探：

（2）如圖2，當點D運動到AB的延長線上時，AD與BE還存在(1)中的位置關系嗎?若存在，請說明理由.同時探索AB，BD，BE三條線段之間的數量關系，并說明理由.

能力提升：

（3）如圖3，當點D運動到BA的延長線上時，若AB=7，AD=2，則AE= .

Answer 1

【答案】（1）相等，垂直，AB=BD+BE；（2）成立，AB= BE－BD；（3）9．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，即可證明△ADC≌△BEC，根據全等三角形的性質即可得出結論；

（2）同理可得結論；

（3）同理可證：△AEC≌△BDC，根據全等三角形的性質可得AE=BD=AB+AD，即可得到結論．

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°．

∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ADC和△BEC中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∠A=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，∴AB⊥BE．

∵AD=BE，∴AB=AD+BD=BD+BE．

故答案為：相等，垂直，AB=BD+BE．

（2）成立，AB= BE－BD．理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°．

∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ADC和△BEC中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∠A=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，∴AB⊥BE．

∵AD=BE，∴AB=AD－BD= BE－BD．

故答案為：垂直，AB= BE－BD．

（3）同理可證：△AEC≌△BDC，∴AE=BD，∴AE=AB+AD=7+2=9．

故答案為：9．