Question

【題目】已知△ABC中，BC=5，以BC為直徑的⊙O交AB邊于點D．

（1）如圖1，連接CD，則∠BDC的度數為 ；

（2）如圖2，若AC與⊙O相切，且AC=BC，求BD的長；

（3）如圖3，若∠A=45°，且AB=7，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）（3）BD的長為3或4．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，只需依據直徑所對的圓周角是直角就可解決問題；

（2）如圖2，連接CD，根據條件可得△ACB是等腰直角三角形，從而得到∠B=45°，再根據直徑所對的圓周角是直角可得△BDC是等腰直角三角形，然后運用勾股定理就可解決問題；

（3）如圖3，連接CD，根據條件可得△ADC是等腰直角三角形，從而得到DA=DC，設BD=x，然后在Rt△BDC運用勾股定理就可解決問題．

試題解析：（1）如圖1，

∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°

故答案為90°；

（2）連接CD，如圖2，

∵AC與⊙O相切，BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∠ACB=90°．∵AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，∴∠DCB=∠B=45°，∴DC=DB．∵BC=5，∴BD2+DC2=2BD2=52，

∴BD=；

（3）連接CD，如圖3，

∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∵∠A=45°，∴∠ACD=45°=∠A，∴DA=DC．

設BD=x，則CD=AD=7﹣x．在Rt△BDC中，x2+（7﹣x）2=52，解得x1=3，x2=4，

∴BD的長為3或4．