Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線于點D，AE⊥DC，垂足為E，F是AE與⊙O的交點，AC平分∠BAE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE=6，∠D=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠BAE，

∴∠OAC=∠CAE，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC∥AE，

∴∠OCD=∠E，

∵AE⊥DE，

∴∠E=90°，

∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∵點C在圓O上，OC為圓O的半徑，

∴CD是圓O的切線

（2）解：在Rt△AED中，

∵∠D=30°，AE=6，

∴AD=2AE=12，

在Rt△OCD中，∵∠D=30°，

∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，

∴DB=OB=OC= AD=4，DO=8，

∴CD= = =4 ，

∴S△OCD= = =8 ，

∵∠D=30°，∠OCD=90°，

∴∠DOC=60°，

∴S扇形OBC= ×π×OC2= ，

∵S陰影=S△COD﹣S扇形OBC

∴S陰影=8 ﹣ ，

∴陰影部分的面積為8 ﹣ ．

【解析】（1）連接OC，先證明∠OAC=∠OCA，進而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，進而證明DE是⊙O的切線；（2）分別求出△OCD的面積和扇形OBC的面積，利用S陰影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．